W 2026 r. zadanie, w którym trzeba było wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o niej, zdający rozwiązali średnio na 38%. CKE w sprawozdaniu nazwała ten wynik zaskakującym, bo funkcję kwadratową omawia się w szkole bardzo dużo. Dobra wiadomość: zadania z tego działu są schematyczne i dobrze poddają się ćwiczeniu.
Co trzeba umieć według wymagań
- szkicować wykres funkcji kwadratowej i odczytywać z niego własności,
- rozumieć współczynniki w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej,
- rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe,
- wyznaczać wzór funkcji na podstawie informacji o niej albo o jej wykresie,
- znajdować największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale domkniętym,
- używać funkcji kwadratowej w zadaniach praktycznych i optymalizacyjnych.
Wzory na wyróżnik, miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka są w karcie „Wybrane wzory matematyczne”, którą dostajesz na egzaminie. Zestawienie postaci i wzorów jest w haśle Funkcja kwadratowa, a o samej karcie piszemy w haśle Karta wzorów matematycznych na maturę.
| Co wiesz z treści | Postać | Wzór |
|---|---|---|
| wierzchołek W = (p, q) | kanoniczna | f(x) = a(x − p)² + q |
| miejsca zerowe x₁ i x₂ | iloczynowa | f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) |
| współczynniki albo trzy punkty | ogólna | f(x) = ax² + bx + c |
Brakujący współczynnik a prawie zawsze wyznaczasz, podstawiając do wzoru jeszcze jeden znany punkt wykresu.
Zadanie 1. Nierówność kwadratowa
Rozwiąż nierówność 2x² − 5x − 3 > 0.
Rozwiązanie. Liczysz wyróżnik: Δ = (−5)² − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49, więc √Δ = 7. Miejsca zerowe:
- x₁ = (5 − 7) / 4 = −½,
- x₂ = (5 + 7) / 4 = 3.
Współczynnik a = 2 jest dodatni, więc ramiona paraboli idą w górę. Wartości dodatnie funkcja przyjmuje na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi. Nierówność jest ostra, więc końce nie należą do rozwiązania.
Odpowiedź: x ∈ (−∞, −½) ∪ (3, +∞).
W 2026 r. nierówność kwadratowa była najłatwiejszym zadaniem otwartym w arkuszu (73%). Mimo to część zdających kończyła na obliczeniu pierwiastków, a część podawała zły zbiór, bo myliła zwrot nierówności. Zawsze naszkicuj parabolę i zaznacz, której części wykresu szukasz.
Zadanie 2. Wzór funkcji z wierzchołka i miejsca zerowego
Wierzchołkiem paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f, jest punkt W = (2, −8). Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 6. Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej i jej drugie miejsce zerowe.
Rozwiązanie. Znasz wierzchołek, więc zaczynasz od postaci kanonicznej: f(x) = a(x − 2)² − 8. Podstawiasz miejsce zerowe: f(6) = 0, czyli a · 4² − 8 = 0. Stąd 16a = 8 i a = ½.
Przekształcasz do postaci ogólnej: f(x) = ½(x² − 4x + 4) − 8 = ½x² − 2x + 2 − 8 = ½x² − 2x − 6.
Drugie miejsce zerowe najszybciej znajdziesz z symetrii. Oś symetrii paraboli to prosta x = 2. Liczba 6 leży o 4 na prawo od osi, więc drugie miejsce zerowe leży o 4 na lewo: x = −2. Sprawdzenie: f(−2) = ½ · 4 + 4 − 6 = 0.
Odpowiedź: f(x) = ½x² − 2x − 6, drugie miejsce zerowe to −2.
Zadanie 3. Wartość największa i najmniejsza w przedziale
Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x) = −x² + 4x + 1 w przedziale [−1, 3].
Rozwiązanie. Pierwsza współrzędna wierzchołka: p = −b / 2a = −4 / (−2) = 2. Liczba 2 należy do przedziału [−1, 3], więc liczysz trzy wartości:
- f(−1) = −1 − 4 + 1 = −4,
- f(2) = −4 + 8 + 1 = 5,
- f(3) = −9 + 12 + 1 = 4.
Odpowiedź: największa wartość to 5 (dla x = 2), najmniejsza to −4 (dla x = −1). Gdyby wierzchołek leżał poza przedziałem, porównałbyś tylko wartości na końcach przedziału.
Zadanie 4. Postać iloczynowa i zbiór wartości
Funkcja f(x) = a(x + 1)(x − 5) spełnia warunek f(2) = 18. Wyznacz a, współrzędne wierzchołka paraboli i zbiór wartości funkcji f.
Rozwiązanie. f(2) = a · 3 · (−3) = −9a, więc −9a = 18 i a = −2. Miejsca zerowe to −1 i 5, a pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między nimi: p = (−1 + 5) / 2 = 2. Druga współrzędna: q = f(2) = 18. Współczynnik a jest ujemny, ramiona idą w dół, więc 18 to największa wartość funkcji.
Odpowiedź: a = −2, W = (2, 18), zbiór wartości to (−∞, 18]. W postaci ogólnej f(x) = −2x² + 8x + 10.
Typowe błędy według sprawozdania CKE
- Niewykorzystane informacje z treści. CKE opisała zdających, którzy dobrze zaczynali, ale nie użyli wszystkich warunków zadania. Po przeczytaniu treści wypisz, co wiesz: wierzchołek, miejsca zerowe, punkty wykresu.
- Przesunięcia wykresu. W 2026 r. wiele osób myliło się przy związku między dwiema funkcjami, z których jedna powstaje przez przesunięcie drugiej: źle wskazywało miejsca zerowe albo wierzchołek. Wykres y = f(x − a) to wykres y = f(x) przesunięty o a jednostek w prawo, a y = f(x) + b o b jednostek w górę.
- Nierówność bez odpowiedzi. Policzone pierwiastki to dopiero połowa zadania. Pełne punkty daje zbiór rozwiązań.
- Rachunki. Najczęstsze przyczyny niepowodzeń według CKE to niska sprawność rachunkowa i błędy w przekształceniach. Sprawdzaj wynik, podstawiając go do wzoru, tak jak w zadaniu 2.
- Zła postać na start. Przy danym wierzchołku wygodna jest postać kanoniczna, przy miejscach zerowych iloczynowa. Układ trzech równań zamiast tego wydłuża rachunki.
Jak to ćwiczyć
Funkcja kwadratowa jest też podstawą zadań optymalizacyjnych: w 2026 r. takie zadanie zdający rozwiązali na 68%. Jeśli zaczynasz powtórki i celujesz w próg, zacznij od nierówności kwadratowych, bo dają pewne punkty (więcej we wpisie Jak zdać maturę z matematyki na 30%). Potem przejdź do wyznaczania wzoru i wartości w przedziale. Mieszaj te typy w jednej sesji, zamiast robić dziesięć zadań jednego rodzaju pod rząd: na egzaminie też najpierw trzeba rozpoznać, z jakim zadaniem masz do czynienia.
Źródło: podstawa programowa z 2024 r. (matematyka, zakres podstawowy, działy III, V i XIII), karta „Wybrane wzory matematyczne” i sprawozdanie CKE z egzaminu maturalnego z matematyki w 2026 r. Sprawozdanie CKE 2026: matematyka (PDF, nowa karta) Wybrane wzory matematyczne (CKE, PDF, nowa karta)
