Jakie dowody są na poziomie podstawowym
- Podzielność i reszty z dzielenia: na przykład wykazanie, że wyrażenie z liczbą całkowitą n dzieli się przez daną liczbę.
- Dowody geometryczne: zależności w trójkątach i czworokątach, z użyciem podobieństwa, pól, kątów czy twierdzeń z karty wzorów.
Polecenia zaczynają się od słów „Udowodnij” albo „Wykaż”. W przykładach CKE za dowód można dostać 2 albo 3 punkty.
Jak przyznaje się punkty
Ocenia się etapy, tak jak w innych zadaniach otwartych. W przykładach z informatora CKE pierwszy punkt daje poprawne przekształcenie wyrażenia, a pełną punktację dopiero zapis w postaci „liczba podzielna · liczba całkowita (+ reszta)” razem ze zdaniem, że drugi czynnik jest liczbą całkowitą. Bez tego zdania dowód jest niepełny.
Przykład: pełny dowód podzielności
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba (2n + 1)² − 1 jest podzielna przez 4.
- Przekształcenie: (2n + 1)² − 1 = 4n² + 4n + 1 − 1 = 4n² + 4n = 4(n² + n).
- Uzasadnienie: n jest liczbą całkowitą, więc n² + n też jest liczbą całkowitą.
- Wniosek: liczba jest iloczynem 4 i liczby całkowitej, więc jest podzielna przez 4.
Przydają się tu wzory skróconego mnożenia i zapis liczb w postaci 3k + 1, 3k + 2 przy resztach z dzielenia.
Najczęstsze błędy według CKE
- Sprawdzanie na przykładach. Podstawienie n = 1 i stwierdzenie, że wynik się dzieli, nie jest dowodem.
- Założenia „z rysunku”. Zdający przyjmowali, że trójkąt jest równoramienny albo kąt prosty, bo tak wyglądało na rysunku.
- Fałszywe własności, na przykład że dwusieczna dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.
- Koniec za wcześnie: pierwszy etap uznany za cały dowód.
W 2026 r. dowód geometryczny był najtrudniejszym zadaniem arkusza podstawowego (średnio 27%), a dwa zadania z podzielności rozwiązano średnio na 39% i 41%. W geometrii dopuszczalne jest rozwiązanie w układzie współrzędnych, ale przyjęcie konkretnej długości boku trzeba uzasadnić.
Źródło: informator CKE o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym (przykładowe dowody i zasady oceniania) i sprawozdanie CKE z egzaminu z matematyki w 2026 r. Przykład dowodu własny. Sprawozdanie z matematyki 2026 (CKE, PDF, nowa karta)
