Wzory skróconego mnożenia przydają się w prawie każdym dziale: w przekształcaniu wyrażeń, w równaniach, w funkcji kwadratowej i w dowodach. Na poziomie podstawowym podstawa programowa wymaga trzech wzorów.
Trzy wzory z poziomu podstawowego
- Kwadrat sumy: (a + b)² = a² + 2ab + b²
- Kwadrat różnicy: (a − b)² = a² − 2ab + b²
- Różnica kwadratów: a² − b² = (a − b)(a + b)
Na poziomie rozszerzonym dochodzą sześciany: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) i a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Wszystkie te wzory są w karcie „Wybrane wzory matematyczne”, którą dostajesz na egzaminie (hasło Karta wzorów matematycznych). Warto je jednak znać na pamięć, bo trzeba je jeszcze rozpoznać w zadaniu.
Przykłady w obie strony
- Rozwijanie: (2x − 3)² = 4x² − 12x + 9.
- Zwijanie: x² − 10x + 25 = (x − 5)².
- Rozkład na czynniki: 49 − x² = (7 − x)(7 + x).
- Usuwanie niewymierności z mianownika: 1 / (√3 − 1) = (√3 + 1) / ((√3 − 1)(√3 + 1)) = (√3 + 1) / 2.
- Liczenie w pamięci: 99 · 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 10 000 − 1 = 9999.
Wzory w dowodach
W zadaniach na dowodzenie wzory pozwalają szybko uprościć wyrażenie. Przykład: różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych dzieli się przez 8. Dla liczb 2k − 1 i 2k + 1, gdzie k jest liczbą całkowitą: (2k + 1)² − (2k − 1)² = (4k² + 4k + 1) − (4k² − 4k + 1) = 8k. Więcej przykładów w haśle Zadania na dowodzenie.
Na co uważać
- (a + b)² to nie a² + b². Pominięty wyraz 2ab to najczęstszy błąd.
- Kwadrat iloczynu: (3x)² = 9x², a nie 3x².
- Minus przed nawiasem: −(x − 3)² = −(x² − 6x + 9) = −x² + 6x − 9. Najpierw wzór, potem zmiana znaków.
- (−a − b)² = (a + b)², a (b − a)² = (a − b)².
W 2026 r. zadanie sprawdzające wzory skróconego mnożenia zdający rozwiązali średnio na 78%, ale dwa zadania z dowodami podzielności tylko na 39% i 41%. Wśród najczęstszych przyczyn niepowodzeń CKE wymienia słabą umiejętność przekształceń algebraicznych.
Źródło: podstawa programowa z 2024 r. (matematyka, zakres podstawowy, dział II), karta „Wybrane wzory matematyczne” i sprawozdanie CKE z egzaminu maturalnego z matematyki w 2026 r. Wybrane wzory matematyczne (CKE, PDF, nowa karta) Sprawozdanie z matematyki 2026 (CKE, PDF, nowa karta)
