Logarytmy na maturę: definicja, wzory i przykłady

Na poziomie podstawowym podstawa programowa wymaga stosowania związku logarytmowania z potęgowaniem oraz wzorów na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.

Definicja

Dla a > 0, a ≠ 1 i b > 0: log_a b = c wtedy i tylko wtedy, gdy a^c = b. Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść a, żeby otrzymać b?

• log₂ 32 = 5, bo 2⁵ = 32,
• log₃ (1/9) = −2, bo 3⁻² = 1/9,
• log₅ √5 = 1/2, bo 5^1/2 = √5,
• log 1000 = 3 (zapis log bez podstawy oznacza podstawę 10).

Z definicji wynika też, że log_a 1 = 0 i log_a a = 1.

Wzory

• log_a (x · y) = log_a x + log_a y
• log_a (x / y) = log_a x − log_a y
• log_a x^r = r · log_a x
• a^{log_a b} = b
• zamiana podstawy: log_b c = log_a c / log_a b (to wymaganie z poziomu rozszerzonego)

Wszystkie te wzory są w karcie wzorów, którą dostajesz na egzaminie (hasło Karta wzorów matematycznych).

Przykłady

• log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ 36 = 2
• log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ 16 = 4
• 2 log₃ 6 − log₃ 4 = log₃ 36 − log₃ 4 = log₃ 9 = 2

Sposób na takie zadania: najpierw połącz logarytmy w jeden za pomocą wzorów, potem policz wartość z definicji. Na maturze z matematyki wolno używać tylko kalkulatora prostego, który nie liczy logarytmów (hasło Kalkulator na maturę).

Na co uważać

• log (x + y) to nie log x + log y. Wzór dotyczy iloczynu, nie sumy.
• log_a x / log_a y to nie log_a (x / y), tylko log_y x (zamiana podstawy).
• log₂ 8² = 2 · 3 = 6, ale (log₂ 8)² = 9.
• Założenia: podstawa dodatnia i różna od 1, liczba logarytmowana dodatnia. W zadaniu z niewiadomą zapisz je na początku.

W 2026 r. zadanie na logarytmy zdający rozwiązali średnio na 80%, więc to zwykle łatwy punkt, o ile nie popełni się jednego z powyższych błędów. Logarytmy wracają też w funkcji logarytmicznej i w zadaniach praktycznych (lista w haśle Wymagania z matematyki na poziomie podstawowym).

Źródło: podstawa programowa z 2024 r. (matematyka, zakres podstawowy, dział I pkt 9), karta „Wybrane wzory matematyczne”, komunikat CKE o przyborach 2027 i sprawozdanie CKE z egzaminu z matematyki w 2026 r. Wybrane wzory matematyczne (CKE, PDF, nowa karta) Sprawozdanie z matematyki 2026 (CKE, PDF, nowa karta)