Wzór i współczynniki
Funkcja liniowa ma wzór f(x) = ax + b, a jej wykresem jest prosta.
- a, współczynnik kierunkowy: mówi, o ile zmienia się wartość funkcji, gdy x rośnie o 1. Dla a > 0 funkcja jest rosnąca, dla a < 0 malejąca, dla a = 0 stała.
- b, wyraz wolny: wykres przecina oś Oy w punkcie (0, b).
- Miejsce zerowe (dla a ≠ 0): x₀ = −b / a.
- a = tg α, gdzie α to kąt nachylenia prostej do osi Ox.
Wyznaczanie wzoru
Wykres przechodzi przez punkty A = (1, 3) i B = (3, 7). Współczynnik a = (7 − 3) / (3 − 1) = 2. Po podstawieniu A: 3 = 2 · 1 + b, więc b = 1. Wzór: f(x) = 2x + 1, miejsce zerowe x₀ = −1/2.
W karcie wzorów są gotowe równania: prosta o współczynniku a przechodząca przez punkt P = (x₀, y₀) to y = a(x − x₀) + y₀, a współczynnik prostej przez dwa punkty to a = (yB − yA) / (xB − xA). Zobacz hasło Karta wzorów matematycznych.
Proste równoległe i prostopadłe
Proste y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂ są równoległe, gdy a₁ = a₂, a prostopadłe, gdy a₁ · a₂ = −1. Przykład: prosta równoległa do y = −3x + 5 przechodząca przez punkt (2, 1) ma równanie y = −3(x − 2) + 1, czyli y = −3x + 7. Punkt wspólny dwóch prostych to rozwiązanie układu ich równań.
W zadaniach z treścią
Przejazd taksówką kosztuje 8 zł opłaty początkowej i 3 zł za każdy kilometr: k(x) = 3x + 8. Współczynnik a = 3 to koszt jednego kilometra, b = 8 to opłata na start.
Na co uważać
- Miejsce zerowe to nie b. Wyraz wolny to punkt przecięcia z osią Oy, a miejsce zerowe leży na osi Ox.
- Znak we wzorze −b / a: dla f(x) = 2x − 6 miejsce zerowe to 3, nie −3.
- Parametr we wzorze: f(x) = (m − 2)x + 4 jest rosnąca dla m > 2, a dla m = 2 jest stała.
W 2026 r. zadanie na interpretację współczynników funkcji liniowej zdający rozwiązali średnio na 72%, zastosowanie funkcji liniowej w geometrii na 55%, a wyznaczenie równania prostej równoległej i punktu wspólnego prostych na 62%. Podobne zasady czytania wykresu przydają się przy funkcji kwadratowej.
Źródło: podstawa programowa z 2024 r. (matematyka, zakres podstawowy, dział V i IX), karta „Wybrane wzory matematyczne” i sprawozdanie CKE z egzaminu z matematyki w 2026 r. Wybrane wzory matematyczne (CKE, PDF, nowa karta) Sprawozdanie z matematyki 2026 (CKE, PDF, nowa karta)
